# Cable Theory

A little cable theory
The most technically-minded people know that a very low-output resistance of a power amplifier to attenuate the unwanted transients of speakers and can. However, the pipe is from the amplifier to the speakers may not be low, then the speakers are not sufficiently damped. Therefore, we tend to feed lines to use the greatest possible cross-section. However, we consider it rare that in the audio frequency range may also havecurrent displacement. For very low frequencies is valid also for DC Ohm's law with avoltage drop U along the cable. It is this drop with R as a DC resistance of the cable andI, as an electrical current is:

U = I . R

This addition is part of the performance, eg an amplifier, the boxes will be supplied tobe lost. This power loss Pv in a cable:
P= I2 . R
where again I is the current in the cable and R is the DC cable resistance. (For thesepower losses at 50 Hz overhead high voltage lines is not too large, increase the voltageto several hundred thousand volts and is characterized by the lower amperage to stilltransmit enough power from a power plant, for example, in a medium sized city.)According to act hi-fi freaks, but as the voltage from a high-end amplifiers to thespeakers can not be increased, one often uses larger cable cross-sections, sometimesup to 16 mm2.

But the large cross-sections in hi-fi systems have the disadvantage that the range of 10to 20 kHz, the current through the previously mentioned current displacement of the head of the interior is displaced to the outside, making the effective current-carrying wire sizes smaller for the high frequencies than for the lower frequencies. This low lineresistance for the high frequencies is greater than for. In DC there is no such current displacement. We must therefore consider the current displacement in more detail.
Cross-section and current displacement

Since we use as a cable usually circular wires are round current displacement. On the derivation of the formulas for these all-round current displacement, which leads to partialdifferential equations of Bessel functions is quite complicated and should be omitted here. We go right on to proximity-end formulas. This gives you the ratio of electrical resistance at the current displacement Rw DC resistance Rg. For low to moderate skin effect for so long as X = ro(p f k m)1/2 /2 < 1 is :
Rw/Rg » 1+1+X/3
However, if   X = ro(p f k m)1/2 /2 > 1, then this ZIP approximation:
Rw/Rg » X+0,25 + 3 / 64X
Eqs. (3) and (4) should be interpreted quite easily. The current displacement in acircular wire increases with the frequency and the radius of the wire. Practically, this means that current displacement even at f = 50 Hz can then take place when the radiusof a wire is larger than 1 cm. Now we use the luck in the audio technologyDrahtqueschnitte not so great, but frequencies up to 20 kHz.

If the ratio Rw /Rg approximately equal to 1, it does virtually no current displacement.However, it is much larger than 1, then there is strong current displacement. At the same time increases that part of the inductance of the cable that is related to the magnetic field within the conductor, namely the internal inductance Li, as an example for X = ro(p f k m)1/2 /2 > 1 :

(5) wli / Rg »X - 3 / 64X + 3/128X2
This means w is the angular frequency 2pf, m is the universal magnetic field constant(absolute permeability). It is in copper: m = 4p10-7 Vs/Am, k the conductivity of copper:k  k » 58 .106 A/Vm and ro the radius of the wire used. But in general, this component of the internal inductance of a power cord for low frequency is negligible, or at least only a fraction of the total inductance. For ribbon cables e.g. and low frequency is the total inductance L = Li + La a cable 5 to 10 times the size of the internal inductance LiOverall, however, provide the internal inductance Li and the external inductance Latogether with the current displacement effective resistance Rw of the voltage drop in thecable. In this case, the external inductance can be calculated from the magnetic flux through the web between the edges of two wires:
La =  Fa / I =   m òò Ha da / I
Here Fa is the external magnetic flux, the results as a surface integral over m by theexternal magnetic field Ha through the web of the ribbon cable. m is again the universalmagnetic field constant and "there " is permeated by the Ha surface element.

We want as an example the ratio Rw / Rg to Eqs. (3) and (4) charge for the cable cross-sections of 2.5, 4.0 and 16 mm2. Results:

 Drahtquerschnitt q = 2,5 mm2 4 mm2 4 mm2 4 mm2 16 mm2 16 mm2 16 mm2 Frequenz  f = 16 kHz 2 kHz 10 kHz 16 kHz 2 kHz 10 kHz 16 kHz Rw / Rg 1,18 1,00 1,17 1,37 1,08 2,00 2,43 Rw pro m in Ohm 0,00814 0,00431 0,00504 0,00590 0,00117 0,00216 0,00262

It is seen at q = 2.5 mm2 to himself at 16 kHz with Rw / Rg "1.18 still no remarkableincrease in line resistance to direct current. For large wire cross sections, however (as in: 16 mm2) is the resistance difference with Rw / Rg »2.43 between low and high frequency currents much larger than for smaller wire cross sections (in this example: 4mm2). In general, therefore, well advised, that one with a wire cross-section of 4 mm2satisfied and thus take for low and high frequencies, no large differences in resistanceto purchase.

Only at very high current displacement, especially in the high-frequency technology, theformulas Eqs. (3) and (4) even easier. This is called the skin or skin effect, becausecurrent practice only in the outer edge or wire in the wire skin flows. Then, as an approximate solution:
Rw /Rg  » wLi /R»ro/(2(wmk / 2)1/2

(8) Abbreviation:  d = (2 / wmk )1/2 as the equivalent Leitschichtdicke compared to adirect current carrying wire strength.
Links: towards increasing diameter with increasing frequency and increasing currentdisplacement to the outer skin of the head, here based on the same wire size.

Right: diagram of the current displacement: Rw / Rg and wli / Rg

Services and energy transport in a cable

On the question of where the energy is transported a cable, the Impartial will respondimmediately: of course in the wire of the cable. He will be even more surprised to learn that the energy transport is not in the wire interior, but in the dielectric by electric andmagnetic field as a carrier of energy. We must prove this claim, of course. Therefore we need vectors, which are not only directed numerical values as in mathematics, butphysical sizes of numbers, units and direction! We need the vectors E for the electricfield strength and H for the magnetic field strength. To distinguish between algebraicvariables we use in each case the arrow next to the letter of the physical size. The unitsare:
[E ] = V/m;         [H] = A/m;         [E x H] = VA/m2
If we write the vector product S = (E x H), so this defines the orthogonal components ofthe two vectors E and H. This is indicated by the x between the two vectors. We call thisvector product
S = (E x H )
the Poynting vector of energy flow. In fact, however, is its unity, as shown in Eq. (9)follows VA/m2, ie surface density of the performance. With a distinction between aPoynting vector and Poynting vector Si within Sat outside the current-carrying wires.

Direction assignment: The vectors are E, H and S in that order, a legal system. That is,E points in the direction of one vector ex, H in the direction of one vector ey, ez S thenshows in the direction of one vector.
One vectors:
, And in a cylindrical wire is used sensibly and the previously drawn cylindrical coordinates with the same legal nimble in the following order each one associatedvectors: er, ea and ez, so he x ea = ez.

We now consider first the fields inside the wire. As a result of the wire resistance of the power generated in the axial direction already mentioned above voltage drop. Thisreferred to the unit length, the component of the electric field Ez is in the conductor. Themagnetic field strength is quite necessary for the associated conduction current density,the magnetic form that is both within and outside a single round wire circles. We havetherefore wire the component Ha. Because of the legal system of x ea = ez he is from mismatching vectors ea = ez x - it. This means, however, that the Poynting vector hasthe following components Ez and Ha in the wire inside only the component-Sr. Thismeans, however: the power of the electromagnetic field inside the wire flows along the wire axis. There will be zero, as is evident from the radial component of Sr Si in the wire: Sr = Ez Ha(r) = Ez Jz p r2/ 2pr = Ez r J/ 2
Jz is the conduction current density Jz = I / p r2, which we assume here to be constantover the wire cross section. Sr is therefore a pure loss of power density. If it is integrated over the entire surface of the wires, we get the power loss in the wire Pv = I2. R. Otherservices, particularly that which is transported to the consumer (the boxes), comes in thewire inside does not! We are investigating now the dielectric around the wires.

Vectors are tangential to the drawn lines of the field distribution of the parallel wire line.
At the wire surface, the vector E two components: the relatively small component Ez inthe longitudinal direction of the wire. You have we been treated; He also a componentperpendicular to the axis of the wires leading from bridge cables to a spatial fielddistribution towards the mating conductor with the smaller Potenial. The magnetic fieldvectors in the dielectric are perpendicular to the vectors with the components he andperpendicular to the axis of the wires.

This is the vector product Sa = Er er x Hea = Er Hez
This was to be shown. All the energy is not transported to the consumer in the dielectricand transport in the wire inside. And on closer inspection by the inclusion of Ez is clearthat the energy transported vector from Eq. (11) at a slight angle to the wire axis isbecause the power dissipation in the wires from the dielectric current and the dielectricenergy transported is taken.